Lista kursów

English version

Kod kursu: IISS10427o14
Rok / Semestr: 2014/2015 letni
Nazwa: Analiza matematyczna
Kierunek: Inżynieria Środowiska
Typ studiów: I st. - inżynierskie
Rodzaj kursu: Obligatoryjny
Semestr studiow: 2
Punkty ECTS: 8
Formy kształcenia (wykłady / ćwiczenia / inne): 30 / 45 / 0
Prowadzący: dr hab. Ryszard Deszcz
Język: polski


Efekty kształcenia: Wiedza Zna podstawowe twierdzenia z poznanych działów matematyki; zna podstawy rachunku różniczkowego i całkowego funkcji jednej oraz podstawy rachunku różniczkowego różniczkowego i całkowego funkcji wielu zmiennych, ze szczególnym uwzględnieniem funkcji dwóch zmiennych; zna elementy klasycznej geometrii różniczkowej krzywych i powierzchni oraz elementy analizy wektorowej. Umiejętności Wykorzystuje rachunek różniczkowy do badania przebiegu funkcji jednej zmiennej; stosuje rachunek całkowy funkcji jednej zmiennej do obliczania wybranych wielkości geometrycznych; rozwiązuje równania różniczkowe wybranych typów; wyznacza ekstrema funkcji dwóch zmiennych; stosuje rachunek całkowy funkcji dwóch i trzech zmiennych do obliczania wybranych wielkości geometrycznych; wylicza krzywiznę i skręcenie krzywej; wyznacza płaszczyznę styczną i normalną w punkcie regularnym powierzchni; wyznacza współrzędne tensora metrycznego powierzchni.

Kompetencje: Zna ograniczenia własnej wiedzy i rozumie potrzebę dalszego kształcenia, rozumie i docenia znaczenie uczciwości intelektualnej w działaniach własnych i innych osób; postępuje etycznie.

Wymagania wstępne: Algebra.

Treści kształcenia: Granica ciągu, ciągłość i pochodne funkcji jednej zmiennej, twierdzenie Lagrange’a, reguła de L’Hospitala, wzory Taylora i Maclaurina, badanie przebiegu zmienności funkcji jednej zmiennej, szeregi liczbowe, kryteria zbieżności, szeregi potęgowe, całki nieoznaczone, całki oznaczone, wzór Leibniza-Newtona, całki niewłaściwe, równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego, równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego, zagadnienie Cauchy’ego, zastosowania. Funkcje dwóch lub więcej zmiennych, elementy klasycznej geometriia różniczkowej krzywych i powierzchni, całki podwójne, całki potrójne, całki krzywoliniowe, twierdzenie Greena, całka powierzchniowa, twierdzenie Stokesa, twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego, elementy analizy wektorowej: gradient, dywergencja, rotacja.

Literatura: 1. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, cz. I, PWN Warszawa, 2007. 2. Krysicki W., Włodarski L., Analiza matematyczna w zadaniach, cz. II, PWN, Warszawa, 2008. 3. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1, Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2011. 4. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 1, Przykłady i zadania, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2011. 5. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2, Definicje, twierdzenia, wzory, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2010. 6. Gewert M., Skoczylas Z., Analiza matematyczna 2, Przykłady i zadania, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2010. 7. Gewert M., Skoczylas Z., Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2011. 8. Gewert M., Skoczylas Z., Elementy analizy wektorowej. Teoria, przykłady, zadania, Oficyna wydawnicza GiS, Wrocław 2011. 9. Leja F., Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych, PWN, Warszawa 2008. 10. Fichtenholz G.M., Rachunek różniczkowy i całkowy, tom I, II i III, PWN, Warszawa 2004. 11. Niczyporowicz E., Krzywe płaskie: wybrane zagadnienia z geometrii analitycznej i różniczkowej, PWN, Warszawa 1991. 12. Bronsztejn I.N., Siemiendiajew K.A., Musiol G., Muehlig H., Nowoczesne kompendium matematyki, PWN, Warszawa 2004.

Metody oceny: Zaliczenie ćwiczeń na podstawie wyników sprawdzianów i ocen bieżących, egzamin pisemny. Na ocenę końcową z przedmiotu składa się ocena z ćwiczeń (50%) oraz ocena z wykładu (50%).

Uwagi: Program przedmiotu: Wykład 1: Liczby rzeczywiste; liczby wymierne, liczby niewymierne. Ciągi liczbowe; granica ciągu, podstawowe metody obliczania granic ciągów, liczba e. Funkcje jednej zmiennej; monotoniczność, okresowość. Funkcja odwrotna. Wykład 2: Funkcje elementarne. Granice i ciągłość funkcji jednej zmiennej; podstawowe metody obliczania granic funkcji. Pochodne funkcji; obliczanie pochodnych funkcji. Wykład 3: Interpretacja geometryczna pochodnej rzędu pierwszego. Twierdzenie Lagrange’a. Ekstrema funkcji, punkty przegięcia wykresu funkcji, wypukłość i wklęsłość funkcji. Wykład 4: Wyrażenia nieoznaczone, reguła de L’Hospitala. Różniczka funkcji. Wzory Taylora i Maclaurina, zastosowania. Badanie przebiegu zmienności funkcji. Wykład 5: Szeregi liczbowe, kryteria zbieżności, szeregi potęgowe, różniczkowanie szeregu potęgowego. Wykład 6: Całki nieoznaczone; podstawowe wzory rachunku całkowego, całkowanie przez podstawienie oraz przez części. Całki funkcji wymiernych. Wykład 7: Całki oznaczone; wzór Leibniza-Newtona. Całkowanie szeregu potęgowego. Całki niewłaściwe. Wykład 8: Zastosowania geometryczne całek oznaczonych; obliczanie pól figur płaskich, długości krzywych oraz objętości i pól powierzchni brył obrotowych. Wykład 9: Równania różniczkowe zwyczajne rzędu pierwszego; rozwiązanie ogólne, zagadnienie Cauchy’ego, równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, równanie różniczkowe liniowe, rzędu pierwszego, równanie Bernoulliego, zastosowania. Równania różniczkowe zwyczajne rzędu drugiego; równanie liniowe rzędu drugiego o stałych współczynnikach, zastosowania. Wykład 10: Funkcje dwóch lub więcej zmiennych; granica i ciągłość, pochodne cząstkowe. Różniczka zupełna. Interpretacja geometryczna pochodnych cząstkowych rzędu pierwszego. Pochodna kierunkowa, gradient. Wzór Taylora. Wykład 11: Wyznaczanie ekstremum funkcji dwóch zmiennych; zastosowania. Funkcje uwikłane, pochodne funkcji uwikłanej. Kartezjański układ współrzędnych. Krzywoliniowe układy współrzędnych; współrzędne walcowe i sferyczne. Powierzchnie; płaszczyzna styczna i prosta normalna, pierwsza forma kwadratowa powierzchni. Wykład 12: Całki podwójne, zastosowania. Całki potrójne, zastosowania. Wykład 13: Krzywe w przestrzeni; długość krzywej, parametr naturalny krzywej, krzywizna i skręcenie krzywej. Całki krzywoliniowe, zastosowania. Wykład 14: Twierdzenie Greena. Elementy teorii pola; dywergencja i rotacja wektora. Wykład 15: Całka powierzchniowa.Twierdzenie Stokesa. Twierdzenie Gaussa -Ostrogradskiego. Rodzaj i zakres ćwiczeń: ćwiczenia w grupach audytoryjnych. Ćwiczenia 1-15: Rozwiązywanie zadań matematycznych dotyczących kolejnych partii materiału przekazywanego na wykładzie, analiza otrzymywanych wyników.